Модели и моделирование. Представление результатов моделирования

Компьютерное информационное моделирование 

Известно, что модель — это некоторое упрощенное подобие реального объекта. Более полное определение звучит так:

Модель — это объект-заменитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал. Модель воспроизводит интересующие нас свойства и характеристики оригинала.

Модели бывают материальными и информационными. Примерами материальных моделей являются глобус — модель Земли; манекен — модель человеческого тела; модели самолетов, кораблей, ракет, автомобилей; макет застройки жилого района в городе и многое другое.

Предметом изучения информатики являются информационные модели.

В информационной модели отражаются знания человека об объекте моделирования. Информационная модель — это описание в той или иной форме объекта моделирования.

Объектом информационного моделирования может быть всё, что угодно: отдельные предметы (дерево, стол); физические, химические, биологические процессы (течение воды в трубе, получение серной кислоты, фотосинтез в листьях растений); метеорологические явления (гроза, смерч); экономические и социальные процессы (динамика цен акций на бирже, миграция населения).

Можно сказать, что информационным моделированием занимается любая наука, поскольку задача науки состоит в получении знаний, а наши знания о действительности всегда носят приближенный, т. е. модельный, характер. С развитием науки эти знания уточняются, углубляются, но всё равно остаются приближенными. Старые модели заменяются на новые, более точные, и этот процесс бесконечен. Физика создает модели физических объектов, химия — химических, экономика и социология — социально-экономических и т. д.

Информатика занимается общими методами и средствами создания и использования информационных моделей.

Компьютерная информационная модель. Основным инструментом современной информатики является компьютер. Поэтому информационное моделирование в информатике — это компьютерное моделирование, применимое к объектам различных предметных областей. Компьютер позволил ученым работать с такими информационными моделями, исследование которых было невозможно или затруднено в докомпьютерные времена. Например, метеорологи могли и 100 лет назад написать уравнения для расчета прогноза погоды на завтра. Но на решение их «ручным способом» потребовалось бы много лет. И лишь с помощью компьютера появилась возможность рассчитать прогноз погоды прежде, чем наступит завтрашний день.

Чаще всего информационное моделирование используется для прогнозирования поведения объекта моделирования, для принятия управляющих решений. Характерной особенностью компьютерных информационных моделей является возможность их использования в режиме реального времени, т. е. с соблюдением временных ограничений на получение результата. В самом деле, какой смысл имеет получение через неделю прогноза на завтра или расчет управляющего решения через час, если его принятие требуется через пять минут? Высокое быстродействие современных компьютеров снимает эти проблемы.

Этапы моделирования (рис. 3.1). Построение информационной модели начинается с системного анализа объекта моделирования. Представим себе быстро растущую фирму, руководство которой столкнулось с проблемой снижения эффективности работы фирмы по мере ее роста (что является обычной ситуацией) и решило упорядочить управленческую деятельность. Первое, что будет сделано на этом пути, — системный анализ деятельности фирмы, т. е. анализ объекта моделирования как системы в соответствии с системным подходом (см. § 1). Системный аналитик, приглашенный в фирму, должен изучить ее деятельность, выделить участников процесса управления и их деловые взаимоотношения.

Далее полученное теоретическое описание моделируемой системы преобразуется в компьютерную модель. Для этого либо используется готовое программное обеспечение, либо привлекаются программисты для его разработки. В конечном итоге получается компьютерная информационная модель, которая будет использоваться по своему назначению.

Для нашего примера с фирмой компьютерная информационная модель поможет найти оптимальный вариант управления, при котором будет достигнута наивысшая эффективность работы фирмы согласно заложенному в модель критерию (например, это может быть максимум прибыли на единицу вложенных средств).

Информационная модель базируется на данных, т. е. на информации об объекте моделирования. Любой реальный объект обладает бесконечным множеством различных свойств. Для создания его информационной модели требуется выделить лишь те свойства, которые необходимы с точки зрения цели моделирования; четко сформулировать эту цель необходимо до начала моделирования. Например, если вы хотите создать модель учебного процесса в вашем классе, то вам потребуются данные об изучаемых предметах, расписании занятий, оценках учеников, преподавателях. А если вы захотите смоделировать процесс летнего отдыха (например, коллективной поездки на юг), то вам потребуются совсем другие данные: сроки поездки, маршрут поезда, стоимость билетов, стоимость расходов на питание и пр. Возможно, что единственными общими данными для этих двух моделей будет список учеников класса.

Моделирование зависимостей между величинами

Величины и зависимости между ними

 

Содержание данного раздела учебника связано с компьютерным математическим моделированием. Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Приведем примеры таких зависимостей:

1) время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
2) давление газа в баллоне зависит от его температуры;
3) уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.

Реализация математической модели на компьютере (компьютерная математическая модель) требует владения приемами представления зависимостей между величинами.

Рассмотрим различные методы представления зависимостей.

Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами.

С понятием величины вы уже встречались в курсе информатики 7-9 классов. Напомним, что со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значение, тип.

Имя величины может быть смысловым и символическим. Примером смыслового имени является «давление газа», а символическое имя для этой же величины — Р. В базах данных величинами являются поля записей. Для них, как правило, используются смысловые имена, например: ФАМИЛИЯ, ВЕС, ОЦЕНКА и т. п. В физике и других науках, использующих математический аппарат, применяются символические имена для обозначения величин.

Чтобы не терялся смысл, для определенных величин используются стандартные имена. Например, время обозначают буквой t, скорость — V, силу — F и пр.

Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы — число Пифагора π = 3,14159.... Величина, значение которой может меняться, называется переменной. Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.

Третьим свойством величины является ее тип. С понятием типа величины вы также встречались, знакомясь с программированием и базами данных . Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический . Поскольку в данном разделе мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, и рассматриваться будут только величины числового типа.

А теперь вернемся к примерам 1-3 (см. начало параграфа) и обозначим (поименуем) все переменные величины, зависимости между которыми нас будут интересовать. Кроме имен укажем размерности величин. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин.

1 ) t (с) - время падения; Н (м) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с²) будем считать константой .

2 ) Р (н/м²) - давление газа (в единицах СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t (⁰С) - температура газа. Давление при нуле градусов Р₀ будем считать константой для данного газа.

3 ) Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей (каких именно, будет сказано позже) - С (мг/м³) . Единица измерения - масса примесей, содержащихся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1 000 жителей данного города - Р (бол./тыс.).

Отметим важное качественное различие между зависимостями, описанными в примерах 1 и 2, с одной стороны, и в примере 3, с другой. В первом случае зависимость между величинами является полностью определенной: значение Н однозначно определяет значение t (пример 1), значение t однозначно определяет значение Р (пример 2). Но в третьем примере зависимость между значением загрязненности воздуха и уровнем заболеваемости носит существенно более сложный характер; при одном и том же уровне загрязненности в разные месяцы в одном и том же городе (или в разных городах в один и тот же месяц) уровень заболеваемости может быть разным , поскольку на него влияют и многие другие факторы. Отложим более детальное обсуждение этого примера до следующего параграфа, а пока лишь отметим, что на математическом языке зависимости в примерах 1 и 2 являются функциональными, а в примере 3 — нет.

Математические модели

 

Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель.

Математическая модель — это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.

Хорошо известны математические модели для первых двух примеров. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:

Это примеры зависимостей, представленных в функциональной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты), вторую — линейной.

В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств.

В еще более сложных задачах (пример 3 — одна из них) зависимости тоже можно представить в математической форме, но не функциональной, а иной.

Табличные и графические модели

 

Рассмотрим примеры двух других, не формульных, способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического. Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график (рис. 3.2).

Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости времени от высоты, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете почему?)

В этом примере мы рассмотрели три способа моделирования зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Формула более универсальна, она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 3.2. Имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график, а наоборот — весьма проблематично.

Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами — законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежат в основе современной техники.

Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели. В примере 1 приведена именно такая модель. В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии — развитие организмов или популяций животных, в химии — протекание химических реакций и т. д.

Получение регрессионных моделей

 

Цель работы: освоение способов построения по экспериментальным данным регрессионной модели и графического тренда средствами Microsoft Excel.

Используемое программное обеспечение: табличный процессор Microsoft Excel.

Задание 1

 

1. Ввести табличные данные зависимости заболеваемости бронхиальной астмой от концентрации угарного газа в атмосфере (см. рисунок).

2. Представить зависимость в виде точечной диаграммы (см. рисунок).

Задание 2

 

Требуется получить три варианта регрессионных моделей (три графических тренда) зависимости заболеваемости бронхиальной астмой от концентрации угарного газа в атмосфере.

1. Для получения линейного тренда выполнить следующий алгоритм:

=> щелкнуть на поле диаграммы «Заболеваемость астмой», построенной в предыдущем задании;

=> выполнить команду Диаграмма —> Добавить линию тренда;

=> в открывшемся окне на вкладке Тип выбрать Линейный тренд;

=> перейти на вкладку Параметры; установить галочки на флажках: показывать уравнения на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2;

=< щелкнуть на кнопке ОК.

Полученная диаграмма представлена на рисунке.

2. Получить экспоненциальный тренд. Алгоритм аналогичен предыдущему. На закладке Тип выбрать Экспоненциальный тренд. Результат представлен на рисунке.

3. Получить квадратичный тренд. Алгоритм аналогичен предыдущему. На закладке Тип выбрать Полиномиальный тренд с указанием степени 2. Результат представлен на рисунке.